Dimensional Analysis and Similarity

Fluid Mechanics ဘာသာရပ္မွာ Dimensional Analysis လုပ္ရျခင္းရဲ႕ ရည္ရြယ္ခ်က္ကေတာ့ စမ္းသပ္မႈမ်ား ျပဳလုပ္ျခင္းေၾကာင့္ ရရွိလာတဲ့ ရလဒ္ (data) ေတြကို ဘယ္လို အစီအစဥ္ဆြဲျခင္း (planning) ၊ တင္ျပအစီရင္ခံျခင္း (presentation) နဲ႕ ေကာက္ခ်က္ခ်ျခင္း (interpretation) မ်ား ျပဳလုပ္ၾကမလဲ အစရွိတာေတြနဲ႕ သက္ဆိုင္ပါတယ္။ အဲဒီလိုမ်ိဳး စမ္းသပ္မႈမ်ားက ရရွိလာတဲ့ အခ်က္အလက္ေတြကို တင္ျပမႈ ျပဳလုပ္မယ္ဆိုရင္ (dimensionless) ျဖစ္ေနတာက အေကာင္းဆံုးတင္ျပမႈပံုစံျဖစ္ေနတဲ့အတြက္ Dimensional Analysis မ်ားကို ျပဳလုပ္ရျခင္းျဖစ္ပါတယ္။ Dimensionless ဆိုတဲ့စကားလံုးကို အၾကမ္းမ်ဥ္း အဓိပၸာယ္ဖြင့္ဆို ၾကည္႕မယ္ဆိုရင္ေတာ့ အလ်ား၊ အနံ၊ ထုထည္ ၊ အေလးခ်ိန္အစရွိတဲ့ တိုင္းတာမႈေတြ မပါ၀င္တဲ့ parameter မ်ားကို Dimensionless Parameter မ်ားလို႕ သတ္မွတ္ပါတယ္။ ဥပမာအားျဖင့္ m, cm, m/s, kg အစရွိတဲ့ ယူနစ္ေတြ မပါ၀င္တဲ့ parameter မ်ားကို dimensionless parameter မ်ားလို႕ ေခၚဆိုႏိုင္ပါတယ္။

အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးရဲ႕ ထုထည္ (volume) ကို ထိန္းခ်ဳပ္မႈျပဳလုပ္ၿပီးေတာ့ အေလးခ်ိန္ (mass), အဟုန္(momentum), စြမ္းအင္ (Energy) အစရွိတာေတြကို ထိန္းသိမ္းမႈ (balance) မ်ားျပဳလုပ္ေပးျခင္းအားျဖင့္ ျခံဳငံု တြက္ဆႏိုင္တဲ့ Parameter ေတြျဖစ္တဲ့ mass flow (အရည္ျဒပ္ထုမ်ား စီးဆင္းမႈႏႈန္း)၊ force (အင္အား၊ တြန္းအား) ၊ torque (လည္ပတ္အား)၊ total heat transfer (အပူကူးေျပာင္းမႈ) အစရွိတဲ့ parameter ေတြ ေပၚေပါက္လာပါတယ္။ ေနာက္ထပ္ၿပီးေတာ့ အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳး (fluids) ရဲ႕ infinitesimal balance လို႕ ေခၚတဲ့ အလြန္ေသးငယ္တဲ့ fluid particles ေလးေတြကို ေလ့လာဘို႕ရန္အတြက္ကေတာ့ fluid flow ေတြကို partial differential equation formula ေတြနဲ႕ ေလ့လာျခင္းကေနၿပီးေတာ့ ေဖာ္ျမဴလာမ်ား ၊ အေျဖမ်ားကို ထုတ္ေဖာ္ျပႏိုင္ပါတယ္။ အထက္ပါနည္းလမ္းေတြကို analytical techniques မ်ားအျဖစ္သတ္မွတ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ ဒီ analytical techniques လုိ႕ေခၚတဲ့ နည္းလမ္းေတြဟာ ရိုးစင္းတဲ့ ပံုစံရွိတဲ့ ေဘာင္တစ္ခု (Simple Boundary) အတြင္းမွာ ရွိတဲ့ အရည္မ်ားကို ေလ့လာတဲ့ေနရာမွာပဲ အသံုးခ်လို႕ရပါတယ္။ အရည္မ်ားစီးဆင္းမႈ (fluid flow) နဲ႕ သက္ဆိုင္တဲ့ ျပသနာအားလံုးရဲ႕ သံုးပံုပံုရင္ တစ္ပံုေလာက္ကိုသာ Analytical Techniques လို႕ေခၚတဲ့ အထက္ပါ နည္းလမ္းမ်ား၊ ေဖာ္ျမဴလာမ်ားကို အသံုးျပဳၿပီးေတာ့ တြက္ခ်က္မႈ ျပဳလုပ္ႏိုင္ပါတယ္။
Fluid Mechanic နဲ႕ သက္ဆိုင္တဲ့ ျပသနာေတြထဲက Analytical Techniques ေတြနဲ႕ အေျဖရွာလို႕ မရတဲ့ က်န္တဲ့ သံုးပံု ႏွစ္ပံုမွ်ေသာ ျပသနာမ်ားကေတာ့ အသြင္အျပင္ ေရာ ပံုသ႑ာန္အရ (Geometrically and physically) ပါ အလြန္ရႈပ္ေထြးစြာ တည္ရွိၾကပါတယ္။ အဲဒါမ်ိဳးျပသနာေတြကို ေျဖရွင္းဘို႕ရာ အတြက္ေတာ့ Experiment လုိ႕ ေခၚတဲ့ စမ္းသပ္မႈေတြကို ၾကိမ္ဖန္မ်ားစြာျပဳလုပ္ၿပီးေတာ့ ရရွိလာတဲ့ အခ်က္အလက္ (data) မ်ားကို ဆန္းစစ္ေလ့လာျခင္းအားျဖင့္သာ ေျဖရွင္းႏိုင္မွာ ျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒါမ်ိဳးေဒတာေတြကို တင္ျပမယ္ဆိုရင္ ဂရပ္ပံုစံနဲ႕ တင္ျပတာက ဇယား (Table) ပံုစံနဲ႕ တင္ျပတာထက္ ပိုၿပီးေတာ့ အျမင္ရွင္းရွင္းနဲ႕ တင္ျပႏိုင္မွာျဖစ္ပါတယ္။ အထက္ပါအခ်က္ေတြဟာပဲ Dimensional Analysis လုပ္ရျခင္းရဲ႕ အေၾကာင္းရင္းေတြပါပဲ။

Dimensional Analysis မိတ္ဆက္
အေျခခံအားျဖင့္ Dimensional Analysis ဆိုတာဟာ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုခု (phenomenon) အေပၚမွာ သက္ေရာက္မႈရွိႏိုင္တဲ့ Variables ေတြရဲ႕ ရႈပ္ေထြးမႈနဲ႕ အေရအတြက္ကို ေလွ်ာ့ခ်ေပးႏိုင္တဲ့ နည္းလမ္း (Methods) မ်ားပဲျဖစ္ပါတယ္။ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုဟာ Dimension (ယူနစ္) ေတြနဲ႕ တုိင္းတာလို႕ ရတဲ့ Variable ေပါင္း n အေရအတြက္ေပၚမွာ မူတည္ေနတယ္ဆိုရင္ အဲဒီ့ Variable ေတြကို ယူနစ္မရွိတဲ့ Dimensionless Variable ေပါင္း k အေရအတြက္သို႕ ေလ်ာ့ခ်ေပးျခင္းကို Dimensional Analysis နည္းလမ္းမ်ားက လုပ္ေဆာင္ေပးသြားမွာျဖစ္ပါတယ္။
ေလ်ာ့နည္းသြားတဲ့ Variable အေရအတြက္ (n-k = 1,2,3 or 4) ကဘယ္ေလာက္ျဖစ္မလဲ ဆိုတာကေတာ့ ေျဖရွင္းရမဲ့ ျပသနာရဲ႕ ရႈပ္ေထြးမႈအေပၚမွာ မူတည္ပါတယ္။ ပံုမွန္အားျဖင့္ ေလ်ာ့နည္းသြားတဲ့ အေရအတြက္ေတြဟာ ကြဲျပားတဲ့ ယူနစ္ အေရအတြက္ (number of different dimension) နဲ႕ တူညီေလ့ရွိပါတယ္။ (တစ္ခါတစ္ေလမွာ အေျခခံ သို႕မဟုတ္ မူလ ယူနစ္မ်ား ၊ basic or primary or fundamental dimensions လို႕လဲ ေခၚဆိုေလ့ရွိၾကပါတယ္။ Fluid Mechanics မွာ အဓိက အေျခခံ ယူနစ္ ေလးခုကေတာ့ mass (အေလးခ်ိန္)၊ length (အလ်ား)၊ Temperature (အပူခ်ိန္) နဲ႕ Time (အခ်ိန္) တုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ MLTθ System လို႕ အတိုေကာက္မွတ္ယူႏိုင္ပါတယ္။ တစ္ခ်ိဳ႕ ေနရာေတြမွာေတာ့ FLTθ system ျဖစ္တဲ့ mass ေနရာမွာ အား (Force) ကို အစားထိုး အသံုး ျပဳၾကတာေတြလဲ ရွိပါတယ္။

MLTθ System မွာအသံုးမ်ားတဲ့ ယူနစ္ေတြကို ေအာက္က ဇယားထဲမွာ ေဖာ္ျပထားပါတယ္။

SI Unit Column က မူရင္း Reference စာအုပ္ထဲမွာ မပါ၀င္ပါဘူး။ ဒါေပမဲ့ MLTθ System ကိုေျပာင္းတဲ့အခါမွာ ပိုၿပီးေတာ့ ျမင္ႏိုင္လာေအာင္လို႕ ထည္႕ေပးထားတာပါ။ ဇယားထဲမွာပါတဲ့ α β γ နဲ႕ δ တို႕ဟာ MLTθ တို႕ရဲ႕ အညႊန္းကိန္းမ်ားျဖစ္ၾကပါတယ္။ M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံနဲ႕ ၾကည္႕ျမင္ႏိုင္ပါတယ္
SI Unit ေတြကိုိၾကည္႕ျခင္းအားျဖင့္ M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံကို ေျပာင္းတဲ့နည္းကေတာ့ ဥပမာ Acceleration ရဲ႕ ယူနစ္ m/s² ကို ၾကည္႕မယ္ဆိုရင္ m (မီတာ) ဟာ အလ်ား L ျဖစ္ပါတယ္။ အခ်ိန္ second square နဲ႕ စားထားတဲ့အတြက္ S က S^-2 ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ m/s² ကို M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံနဲ႕ ျပမယ္ ဆိုရင္ LT^-2 လို႕ ျပဆိုရမွာျဖစ္ပါတယ္။ ထုိနည္းတူ Force ရဲ႕ ယူနစ္ကို M L T^-2 အစရွိသည္ျဖင့္ ေအာက္ပါဇယားကို ၾကည္႕ၿပီးေတာ့ ေျပာင္းလဲႏိုင္မွာျဖစ္ပါတယ္။

Dimensional Analysis လုပ္ျခင္းေၾကာင့္ ေျပာင္းလဲသြားသည္႕ ေဖာ္ျမဴလာပံုစံမ်ား မိတ္ဆက္
စီးဆင္းေနတဲ့ အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးအတြင္းမွာ ေပါေလာေပၚေနတဲ့ အရာ၀တၱဳတစ္ခုခုအေပၚမွာ သက္ေရာက္ႏိုင္တဲ့ အား F ဟာ ၊ အဲဒီ့အရာ၀တၱဳရဲ႕ အလ်ား (L) ၊ စီးဆင္းေနတဲ့ အရည္ရဲ႕ စီးဆင္းႏႈန္း Velocity (V), အဲဒီ့အရည္ရဲ႕ သိပ္သည္းဆ (Density, ρ) နဲ႕ အဲဒီ့အရည္ရဲ႕ တြန္းကန္မႈလို႕ ေခၚဆိုႏိုင္ တဲ့ (Viscosity, μ) (Viscosity ရဲ႕ အေၾကာင္းကို အက်ယ္ေလ့လာဘို႕ရန္လိုပါတယ္) တို႕အေပၚမွာ မူတည္ေနမွန္း ကၽြန္ေတာ္တို႕ သိရွိၾကၿပီးျဖစ္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။ အဲဒီအေၾကာင္းကို သခ်ာၤညီမွ်ျခင္း ပံုစံ နဲ႕ ေဖာ္ျပမယ္ဆိုရင္ ေအာက္ပါအတုိင္း ေဖာ္ျပရပါမယ္။
F = f(L,V, ρ, μ) - လို႕ ေဖာ္ျပရပါမယ္။ ဆိုလိုျခင္တာကေတာ့ အရာ၀တၱဳအေပၚမွာ သက္ေရာက္တဲ့ အား F ဟာ L, V ,density နဲ႕ Viscosity အစရွိတဲ့ function ေတြအေပၚမွာ မူတည္ေနပါတယ္လုိ႕ ျပဆိုလုိက္တာပါ။
အဲဒီ F = f(L,V, ρ, μ) ပံုစံကို Dimensional Analysis လုပ္လိုက္ၿပီးၿပီဆိုရင္ေတာ့ ေအာက္ပါပံုစံအျဖစ္ေျပာင္းလဲသြားပါလိမ့္မယ္။

F/ρV²L² = g(ρVL/μ) (or) CF = g(Re)

ဘယ္လိုေျပာင္းလဲမႈ ျပဳလုပ္ၾကမလဲဆိုတာ ဆက္ေလ့လာၾကည္႕လိုက္ရေအာင္။