Buckingham's Pi Theorem

Buckingham's П Theorem

ဘက္ကင္းဟမ္ရဲ႕ ပိုင္ သီအိုရီက ဆိုခဲ့တာကေတာ့ ရူပေဗဒဆိုင္ရာ ျဖစ္ပ်က္မႈတစ္ခုခုဟာ ယူနစ္မ်ားတူညီျခင္းဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity) ကို လိုက္နာၿပီးေတာ့ အဲဒီ့ ျဖစ္ပ်က္မႈထဲမွာ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္း (Variables) အေရအတြက္က "n" ရွိကာ အေျခခံ ယူနစ္အေရအတြက္ (basic dimensions) က "m" အေရအတြက္ ရွိတယ္ဆိုၾကပါစို႕။ အဲဒါဆိုရင္ အဲဒီ့ညီမွ်ျခင္းထဲမွာ ရွိေနတဲ့ ယူနစ္မ်ားပါ၀င္တဲ့ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္းေတြကို ယူနစ္မဲ့ အုပ္စုမ်ား (dimensionless groups) အျဖစ္ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ အေရအတြက္ဟာ "n-m" အေရအတြက္ျဖစ္ပါတယ္ - လို႕ ဆိုခဲ့ပါတယ္။ ဆိုလိုခ်င္တာကေတာ့ ယူနစ္မဲ့အုပ္စုမ်ားအေရအတြက္ П = n-m ျဖစ္ပါတယ္။ အဓိပၸာယ္ ဖြင့္ဆိုခ်က္က မရွင္းလင္းဘူးဆိုရင္ ပုစၧာတြက္ၿပီးတဲ့ အခါမွာ ျမင္ႏုိင္လာပါလိမ့္မယ္။

ယူနစ္မဲ့အုပ္စုမ်ား (П Groups) မ်ား၏ (n-m) အေရအတြက္ကို ရွာေဖြရာတြင္ လုပ္ေဆာင္ရမည္႕ အဆင့္မ်ား

Step 1. ညီမွ်ျခင္းအတြင္းရွိ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္း (Variables) မ်ားအတြင္းမွ ထပ္ကာတစ္လဲလဲ အသံုးျပဳရမည္႕ Variables မ်ား(Repeating variables) မ်ားအား ေရြးခ်ယ္ပါ။ Repeating Variables အေရအတြက္ မည္မွ်သတ္မွတ္ရမည္ ဆိုသည္မွာ Variables စုစုေပါင္းအတြင္းတြင္ အေျခခံယူနစ္(basic dimension units) မည္မွ်ပါ၀င္သည္ဆိုသည္ အေပၚမွာ မူတည္ပါသည္။

ဥပမာ - D, U, ρ, μ, d, h အစရွိသည္႕ Variable ၆ခုအတြင္းတြင္ အေျခခံ ယူနစ္ ၃ခုသာ ပါ၀င္ (M,L and T) ပါသည္။ ထုိ႕အတြက္ေၾကာင့္ ထို Variable ၆ခုအတြင္းတြင္ ထပ္ကာတစ္လဲလဲ ပါ၀င္ေနမည္႕ Repeating Variable အေရအတြက္မွာ ၃ခု = (အေျခခံယူနစ္အေရအတြက္ေပါင္း) သာ ျဖစ္ရပါ့မယ္။

မွတ္ရန္။ D, U, ρ, μ, d, h အစရွိတဲ့ Variables ေတြထဲမွာ Repeating Variable ေတြက ဘာေတြကို ေရြးရမလဲဆိုတာကို ေအာက္ပါအတိုင္းမွတ္သားႏိုင္ပါတယ္။

ဥပမာအားျဖင့္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ ေလ့လာခ်င္တဲ့ ညီမွ်ျခင္းက D = f (U, ρ, μ, d, h) - ျဖစ္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။

၁။ ညီမွ်ျခင္းရဲ႕ ဘယ္ဘက္က Variable ကို Repeating Variable အျဖစ္ မယူရပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္ D ကို ပယ္ပါတယ္။

၂။ အမ်ားအားျဖင့္ μ ကို Repeating Variable အျဖစ္ အသံုးမျပဳပါဘူး။ μ ပါ၀င္တဲ့ ယူနစ္မဲ့ညီမွ်ျခင္းေတြဟာ မ်ားျပားလြန္းတဲ့ အတြက္ အေျဖထြက္လာတဲ့အခါမွာ ရႈပ္ေထြးမႈေတြရွိလာႏိုင္လုိ႕ပါ။

၃။ Flow Velocity (U) နဲ႕ Density (ρ) တို႕ဟာ အေရးပါတဲ့ Variable ေတြျဖစ္ၾကပါတယ္။ အမ်ားျဖင့္ ဒီ Variable ၂ခုကို Repeating Variable ေတြအျဖစ္ယူၾကတာမ်ားပါတယ္။

၄။ ေနာက္ထပ္ၿပီးေတာ့ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြဟာ ေအာက္ပါ အခ်က္ (၂)ခုကို ကိုက္ညီႏိုင္ရပါ့မယ္။

လိုအပ္ခ်က္ (၁) - ေလ့လာလိုတဲ့ ညီမွ်ျခင္းထဲမွာ ပါ၀င္တဲ့ Basic Dimensions ေတြအားလံုးဟာ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြထဲမွာ ပါ၀င္မႈရွိေနရပါ့မယ္။ ဥပမာအားျဖင့္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ U, ρ နဲ႕ d တို႕ကို Repeating Variables ေတြအျဖစ္ ေရြးခ်ယ္လိုက္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။

[U] = LT^-1 , [ρ] = M L^-3 [d] = L - M,L နဲ႕ T အေျခခံယူနစ္အားလံုးဟာ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြထဲမွာ အားလံုး ပါ၀င္တဲ့အတြက္ လိုအပ္ခ်က္ (၁) ျပည္႕မွီပါတယ္။

လုိအပ္ခ်က္ (၂) - ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြဟာ Basic Dimensions ေတြအားလံုးကို Repeating Variables ပံုစံမ်ိဳးေတြနဲ႕ ျပသႏိုင္ရပါ့မယ္။ ဥပမာ -

L = [d] , M = [ρ]/[d]³ T = [d]/[U]

လုိအပ္ခ်က္ (၂)ခု စလံုးနဲ႕ ကိုက္ညီတဲ့အတြက္ Flow Velocity (U), Density (ρ) နဲ႕ Diameter (d) တို႕ကို Repeating Variables မ်ားအျဖစ္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ သတ္မွတ္ႏိုင္ၾကပါၿပီ။

Step 2. Repeating Variable ေတြသတ္မွတ္ၿပီးၿပီဆိုရင္ ေနာက္တစ္ဆင့္က Dimensionless Groups (П Groups) မ်ားကို သတ္မွတ္ေပးရပါ့မယ္။ П Groups ေတြရဲ႕ General Formula က ေအာက္ပါပံုစံအတိုင္းျဖစ္ပါတယ္။

П_j = X_j (X_r1)^a (X_r2)^b (X_r3)^c - - - - - - - (1)

X_r1, X_r2, X_r3 ေနရာမွာ အေပၚက ကၽြန္ေတာ္တို႕ သတ္မွတ္ခဲ့တဲ့ Repeating Variables ေတြကို ထည္႕ရပါတယ္။ Power ေတြျဖစ္တဲ့ a,b နဲ႕ c တို႕က ရွာေပးရမဲ့ အရာေတြျဖစ္ပါတယ္။ a,b,c ကိုတြက္တဲ့ ေဖာ္ျမဴလာကေတာ့ П_{j =} M⁰L⁰T⁰ ျဖစ္ပါတယ္။ j ရဲ႕ အေရအတြက္က n-m နဲ႕ ညီပါတယ္။ ဥပမာအား ျဖင့္ n-m က ၃ ျဖစ္ေနလို႕ရင္ П₁ ၊ П₂ ၊ П₃ အစရွိသည္ျဖင့္ Dimensionless Group ၃ခု ထြက္လာပါ့မယ္။ ဥပမာကို ၾကည္႕လိုက္ရင္ ရွင္းရွင္းလင္းလင္း ျမင္လာမွာပါ။

ဥပမာ - မ်က္ႏွာျပင္ ၾကမ္းတဲ့ စက္လံုးပံုအရာ ၀တၱဳတစ္ခုကို အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးျဖတ္စီးရင္ စက္လံုးေဘး ပတ္လည္မွာ ျဖစ္တဲ့ Force က D = f(U, ρ, μ, d, h) -

Total Variable = n = 6 - - - > (D ,U, ρ, μ, d, h )

D = MLT^-2

U = LT^-1

ρ = ML^-3

μ = ML^-1T^-1

d = L

h = L

Variables မ်ားအတြင္းတြင္ ပါ၀င္ေသာ အေျခခံယူနစ္ေပါင္း Total no. of Basic Dimensions = m = 3 (M, L, T). အေျခခံယူနစ္ ၃ခုပါ၀င္သည္႕အတြက္ Repeating Variables ၃ ခု သတ္မွတ္ေပးရပါ့မယ္။ Repeating Variable သတ္မွတ္သည္႕ ဥပေဒသမ်ားအရ U, ρ ႏွင့္ d တို႕အား Repeating Variables မ်ားအျဖစ္ ဒီပုစၧာအတြက္ သတ္မွတ္ပါတယ္။

So, n - m = 6-3 = 3 ျဖစ္တဲ့အတြက္ П₁ ၊ П₂ ၊ П₃ Dimensionless Group ၃ခု ရွိရမည္။

П₁ = D U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

П₂ = μ U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

П₃ = h U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

(Repeating Variables ၃ခုျဖစ္တဲ့ U, ρ ႏွင့္ d တို႕ဟာ П တိုင္းမွာ ပါၿပီးေတာ့ က်န္တဲ့ D, μနဲ႕ h တို႕ကို ေရွ႕ဆံုးမွာ ေျပာင္းေျပာင္းထည္႕လိုက္ယံုပါပဲ)

П1 ကို ေျဖရွင္းပါတယ္။ - Solve for the exponents a,b and c of each П group.

П₁ = D U^a ρ^b d^c

= MLT^-2 [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

= M^1+b L^1+a-3b+c T^-2-a = M⁰L⁰T⁰

D.H ဥပေဒသအရ Exponents ေတြကို ညီမွ်ျခင္း ခ်လိုက္မယ္ဆိုရင္။ Equating the exponents gives

M : 1+b = 0 - - - > b = -1

L : 1+a-3b+c = 0 - - - > 1-2+3+c = 0 - - - > c = -2

T : -2-a = 0 - - - > a = -2

အထက္ကရလာတဲ့ a, b နဲ႕ c values ေတြကို П₁ = D U^a ρ^b d^c ေဖာ္ျမဴလာထဲမွာ ထည္႕လိုက္တဲ့ အခါမွာ

П₁ = D U^-2 ρ^-1 d^-2
= D/ ρ U²d² ကို ရရွိလာပါေတာ့တယ္။ အဲဒီ့ П₁ = D/ ρ U²d² ဟာ Drag Coefficient ျဖစ္တဲ့ C_D ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ П₂ ကိုဆက္ရွင္းပါ့မယ္။

П₂ = μ U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

= ML^-1T^-1 [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

= M^1+b L^-1+a-3b+c T^-1-a = M⁰L⁰T⁰

By D.H gives,

M : 1+b = 0 - - - > b = -1

L : -1+a-3b+c = 0 - - - - > -1-1+3+c = 0 - - - -> c = -1

T: -1-a = 0 - - - - > a = -1

Substituting a,b and c into П₂ = μ U^a ρ^b d^c gives П₂ = μ /U ρ d which is 1/Re П₃ ကိုဆက္ရွင္းပါ့မယ္။

П₃ = h U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

= L [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

=M^b L^1+a-3b+c T^-a
= M⁰L⁰T⁰

By using D.H gives,

M : b = 0

L : 1+a-3b+c = 0 - - - > 1+0-0+c = 0 - - - > c = -1

T : -a = 0 - - - > a=0

Substituting a,b and c into П₃ = h U^a ρ^b d^c gives П₃ = h / d which is roughness factor.

ေနာက္ဆံုးရရွိလာတဲ့ အေျဖကေတာ့ П₁ = D/ ρ U²d² which is C_D ၊ П₂ = μ /U ρ d which is 1/Re နဲ႕ roughness factor П₃ = h / d တို႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။ပုစၧာမ်ားကို ဆက္လက္ေလ့လာၾကည္႕ၾကပါခင္ဗ်ား။

Principle of Dimensional Homogeneity & Determination of Dimensionless Groups

တူညီေသာယူနစ္မ်ား ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity)
Dimensional Analysis မလုပ္ခင္မွာ သိထားရမဲ့အရာတစ္ခုကေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity လို႕ေခၚတဲ့ တူညီေသာ ယူနစ္မ်ား ဥပေဒသပဲျဖစ္ပါတယ္။ Principle of Dimensional Homogeneity ရဲ႕ အဓိပၸာယ္ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ဖြင့္ဆိုထားပါတယ္။
ရူပေဗဒဆိုင္ရာ ျဖစ္ပ်က္မႈတစ္ခုခုအတြင္းမွာရွိတဲ့ ေျပာင္းလဲတည္ရွိႏိုင္တဲ့ ၀ိေသသမ်ားရဲ႕ ဆက္စပ္မႈ တစ္ခုခုကို အမွန္တစ္ကယ္ေဖာ္ျပႏိုင္တဲ့ ညီမွ်ျခင္း ေဖာ္ျမဴလာေတြဟာ ယူနစ္ေတြကိုက္ညီမႈ ရွိၾကတယ္။ လြယ္လြယ္မွတ္လိုက္ရင္ကေတာ့အီေကြးရွင္းတစ္ခုရဲ႕ ဘယ္ဘက္ကယူနစ္ဟာ ညာဘက္ကယူနစ္နဲ႕ ကိုက္ညီရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

ဥပမာအားျဖင့္ ေဖာ္ျပရင္၊ အျမင့္ကေနေျမျပင္ေပၚကို က်ဆင္းလာတဲ့ အရာ၀တၱဳတစ္ခုခုရဲ႕ တည္ေနရာကို ေဖာ္ျပတဲ့ ညီမွ်ျခင္း S = S₀ + V₀t + ½ gt² ကိုၾကည္႕လိုက္မယ္ဆိုရင္ S ရဲ႕ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနတယ္ဆိုရင္ ညာဘက္က S₀ + V₀t + ½ gt² ကို ေျဖရွင္းလိုက္ရင္ လဲ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

Determination of Dimensionless Groups

ယူနစ္မ်ား တူညီျခင္း ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity) အေပၚမွာ အေျခခံထားတဲ့ ယူနစ္မဲ့ အုပ္စုမ်ားကိုရွာေဖြတဲ့ နည္းလမ္း (၂)ခုရွိပါတယ္။ ဒီေနရာကေနစၿပီးေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity ကို D.H လို႕ အတုိေကာက္သံုးသြားပါ့မယ္။

အဲဒီ့နည္းလမ္း (၂)ခုကေတာ့
၁။ Rayleigh's Method နဲ႕

၂။ Buckingham's π (pi) Theorem တုိ႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။

Rayleigh's Method ကို အရင္ေလ့လာလိုက္ရေအာင္။ေခ်ာေမြ႕တဲ့ မ်က္ႏွာျပင္ရွိတဲ့ စက္လံုးတစ္ခုကို အရည္တစ္ခုခုက ျဖတ္စီးဆင္းမယ္ဆိုရင္ အဲဒီ့စက္လံုးရဲ႕ ပတ္၀န္းက်င္မွာ ျဖစ္ေပၚေနတဲ့ စီးဆင္းအား (DragForce) ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ေဖာ္ျပပါတယ္။

D (Drag) = f(U,ρ,d,μ) - - - - - (၁)

အထက္ပါ အီေကြးရွင္ (၁) ကို ပိုလီႏိုမီရယ္ General Form အေနနဲ႕ ျပမယ္ဆိုရင္ေတာ့ ေအာက္ပါအတိုင္း ျဖစ္ပါတယ္။

D = U^α ρ^β d^γ μ^δ + U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1 + ........ - - - - - (၂)

အဲဒါဆိုရင္ ယူနစ္မ်ား ညီမွ်ျခင္း ဥပေဒသ အရ (D.H) ေအာက္ပါအတိုင္းေရးလို႕ ရသြားပါၿပီ။

[D] = [U^α ρ^β d^γ μ^δ] = [U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1] - - - - - - (၃)
ေနာက္ထပ္မဆက္ခင္မွာ အီေကြးရွင္းထဲမွာ ပါ၀င္ေနတဲ့ Parameter တစ္ခုခ်င္းစီရဲ႕ ယူနစ္ေတြကို ခ်ေရးရပါ့မယ္။

D = Drag Force = kg m/s2 = M L T^-2

U = Flow Velocity = m/s = L T^-1

ρ = Density = kg/m3 = ML^-3

d = Diameter of Sphere = m = L

μ = Fluid Viscosity = kg/ms = ML^-1T^-1

အဲဒီ့ ယူနစ္ေတြကို ညီမွ်ျခင္း (၃)ထဲမွာ အစားထိုးလုိက္ပါ။ ေအာက္ပါအတိုင္း ရရွိပါတယ္။

MLT^-2 = (LT^-1)^α (ML^-3)^β (L)^γ (ML^-1T^-1)^δ

^{= (}M^{) β + δ(}L)^α -^{3β + γ - δ} (T)^{-α - δ} ---------------------- (၄)

ညီမွ်ျခင္း (၄)မွာ D.H ရဲ႕ ဥပေဒသကို အသံုးျပဳၿပီး ညီမွ်ျခင္း ခ်လိုက္မယ္ဆိုရင္

β + δ = 1

α -3β + γ - δ = 1

-α - δ = -2 - - - -- - - - -(၅)

ညီမွ်ျခင္း (၅)မွာ အီေကြးရွင္း (၃) ေၾကာင္းသာရွိၿပီးေတာ့ မသိတဲ့ unknown က (၄)ခုျဖစ္ေနတာကို ေတြ႕ရပါတယ္။ ဒီလိုမ်ိဳး ညီမွ်ျခင္းေတြကို ေျဖရွင္းႏိုင္ ဘို႕ရာအတြက္ α, β, γ, δ တို႕ကို အဲဒီ့ unknown ေလးခုထဲက တစ္မ်ိဳးမ်ိဳး ပံုစံနဲ႕ ေျပာင္းျပေပးရပါတယ္။ အထက္ပါအီေကြးရွင္း (၅) ကို ၾကည္႕လိုက္ တဲ့အခါမွာ δ ဟာ အီေကြးရွင္းတိုင္းမွာ ပါ၀င္ေနတာကို ေတြ႕ရတဲ့အတြက္ က်န္ α ၊ β ၊ နဲ႕ γ တို႕ကို δ ပံုစံ အီေကြးရွင္းအျဖစ္ ေနာက္တစ္ဆင့္မွာ ျပေပးရပါ့မယ္။

အီေကြးရွင္း(၅) ရဲ႕ မသိကိန္းေတြကို δ ပံုစံနဲ႕ ေျဖရွင္းလိုက္တဲ့အခါမွာ

α = 2 - δ

β = 1- δ

အဲဒီ့ α နဲ႕ β တန္ဘိုးေတြကို အသံုးျပဳၿပီး γ ကို ရွာပါတယ္။

2 - δ - 3(1 - δ) + γ - δ = 1

γ = 2 - δ - - - - - (၆)
ေနာက္ထပ္ထပ္ၿပီးေတာ့ α = 2 - δ ၊ β = 1- δ နဲ႕ γ = 2 - δ ျဖစ္တယ္ဆိုရင္ အီေကြးရွင္း (၃) အရ -
α¹ = 2 - δ¹ ၊ β¹ = 1- δ¹နဲ႕ γ¹ = 2 - δ¹ - - - - (၇) လို႕ ဆိုႏုိင္သြားပါၿပီ။

ညီမွ်ျခင္း (၆) နဲ႕ (၇) ကို ညီမွ်ျခင္း (၂) ထဲမွာ အစားထိုးလိုက္တဲ့အခါမွာေတာ့

D = U^{2 - δ} ρ^1-δ d^2-δ μ^δ + U^{2 - δ1} ρ^1-δ1 d^2-δ1 μ^δ1

= ρU²d² {[μ/ρUd]^δ + [μ/ρUd]^{δ1 + . . . . . .} } - - - - - (၈)

အဲဒီ့အခါမွာ အထက္က ေဖာ္ျမဴလာ ပံုစံဟာ

C_D = D/ρU²d² = φ(Re) - - - - - (၉) ဆိုတဲ့ ပံုစံမ်ိဳး ျဖစ္သြားပါၿပီ။ Re ကေတာ့ Reynold's number ပဲျဖစ္ကာ ပံုေသနည္းက Re = ρUd/μ ပဲျဖစ္ပါတယ္။

အီေကြးရွင္း နံပါတ္ (၉) ဟာ ကၽြန္ေတာ္တို႕ လုိခ်င္တဲ့ ယူနစ္မဲ့ ပံုစံမ်ား Dimensionless Groups ပံုစံမ်ား အျဖစ္ကို ေရာက္ရွိသြားၿပီး ျဖစ္ပါတယ္။ အဆင့္ (၁) ကေန (၉) အထိ အျပန္ျပန္ အလွန္လွန္ ေလ့က်င့္ျခင္းအား ျဖင့္ တစ္ျခား ပုစၧာမ်ားကိုလဲ အေျဖရွာႏိုင္ၾကမွာ ျဖစ္ပါတယ္။

Dimensional Analysis and Similarity

Fluid Mechanics ဘာသာရပ္မွာ Dimensional Analysis လုပ္ရျခင္းရဲ႕ ရည္ရြယ္ခ်က္ကေတာ့ စမ္းသပ္မႈမ်ား ျပဳလုပ္ျခင္းေၾကာင့္ ရရွိလာတဲ့ ရလဒ္ (data) ေတြကို ဘယ္လို အစီအစဥ္ဆြဲျခင္း (planning) ၊ တင္ျပအစီရင္ခံျခင္း (presentation) နဲ႕ ေကာက္ခ်က္ခ်ျခင္း (interpretation) မ်ား ျပဳလုပ္ၾကမလဲ အစရွိတာေတြနဲ႕ သက္ဆိုင္ပါတယ္။ အဲဒီလိုမ်ိဳး စမ္းသပ္မႈမ်ားက ရရွိလာတဲ့ အခ်က္အလက္ေတြကို တင္ျပမႈ ျပဳလုပ္မယ္ဆိုရင္ (dimensionless) ျဖစ္ေနတာက အေကာင္းဆံုးတင္ျပမႈပံုစံျဖစ္ေနတဲ့အတြက္ Dimensional Analysis မ်ားကို ျပဳလုပ္ရျခင္းျဖစ္ပါတယ္။ Dimensionless ဆိုတဲ့စကားလံုးကို အၾကမ္းမ်ဥ္း အဓိပၸာယ္ဖြင့္ဆို ၾကည္႕မယ္ဆိုရင္ေတာ့ အလ်ား၊ အနံ၊ ထုထည္ ၊ အေလးခ်ိန္အစရွိတဲ့ တိုင္းတာမႈေတြ မပါ၀င္တဲ့ parameter မ်ားကို Dimensionless Parameter မ်ားလို႕ သတ္မွတ္ပါတယ္။ ဥပမာအားျဖင့္ m, cm, m/s, kg အစရွိတဲ့ ယူနစ္ေတြ မပါ၀င္တဲ့ parameter မ်ားကို dimensionless parameter မ်ားလို႕ ေခၚဆိုႏိုင္ပါတယ္။

အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးရဲ႕ ထုထည္ (volume) ကို ထိန္းခ်ဳပ္မႈျပဳလုပ္ၿပီးေတာ့ အေလးခ်ိန္ (mass), အဟုန္(momentum), စြမ္းအင္ (Energy) အစရွိတာေတြကို ထိန္းသိမ္းမႈ (balance) မ်ားျပဳလုပ္ေပးျခင္းအားျဖင့္ ျခံဳငံု တြက္ဆႏိုင္တဲ့ Parameter ေတြျဖစ္တဲ့ mass flow (အရည္ျဒပ္ထုမ်ား စီးဆင္းမႈႏႈန္း)၊ force (အင္အား၊ တြန္းအား) ၊ torque (လည္ပတ္အား)၊ total heat transfer (အပူကူးေျပာင္းမႈ) အစရွိတဲ့ parameter ေတြ ေပၚေပါက္လာပါတယ္။ ေနာက္ထပ္ၿပီးေတာ့ အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳး (fluids) ရဲ႕ infinitesimal balance လို႕ ေခၚတဲ့ အလြန္ေသးငယ္တဲ့ fluid particles ေလးေတြကို ေလ့လာဘို႕ရန္အတြက္ကေတာ့ fluid flow ေတြကို partial differential equation formula ေတြနဲ႕ ေလ့လာျခင္းကေနၿပီးေတာ့ ေဖာ္ျမဴလာမ်ား ၊ အေျဖမ်ားကို ထုတ္ေဖာ္ျပႏိုင္ပါတယ္။ အထက္ပါနည္းလမ္းေတြကို analytical techniques မ်ားအျဖစ္သတ္မွတ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ ဒီ analytical techniques လုိ႕ေခၚတဲ့ နည္းလမ္းေတြဟာ ရိုးစင္းတဲ့ ပံုစံရွိတဲ့ ေဘာင္တစ္ခု (Simple Boundary) အတြင္းမွာ ရွိတဲ့ အရည္မ်ားကို ေလ့လာတဲ့ေနရာမွာပဲ အသံုးခ်လို႕ရပါတယ္။ အရည္မ်ားစီးဆင္းမႈ (fluid flow) နဲ႕ သက္ဆိုင္တဲ့ ျပသနာအားလံုးရဲ႕ သံုးပံုပံုရင္ တစ္ပံုေလာက္ကိုသာ Analytical Techniques လို႕ေခၚတဲ့ အထက္ပါ နည္းလမ္းမ်ား၊ ေဖာ္ျမဴလာမ်ားကို အသံုးျပဳၿပီးေတာ့ တြက္ခ်က္မႈ ျပဳလုပ္ႏိုင္ပါတယ္။
Fluid Mechanic နဲ႕ သက္ဆိုင္တဲ့ ျပသနာေတြထဲက Analytical Techniques ေတြနဲ႕ အေျဖရွာလို႕ မရတဲ့ က်န္တဲ့ သံုးပံု ႏွစ္ပံုမွ်ေသာ ျပသနာမ်ားကေတာ့ အသြင္အျပင္ ေရာ ပံုသ႑ာန္အရ (Geometrically and physically) ပါ အလြန္ရႈပ္ေထြးစြာ တည္ရွိၾကပါတယ္။ အဲဒါမ်ိဳးျပသနာေတြကို ေျဖရွင္းဘို႕ရာ အတြက္ေတာ့ Experiment လုိ႕ ေခၚတဲ့ စမ္းသပ္မႈေတြကို ၾကိမ္ဖန္မ်ားစြာျပဳလုပ္ၿပီးေတာ့ ရရွိလာတဲ့ အခ်က္အလက္ (data) မ်ားကို ဆန္းစစ္ေလ့လာျခင္းအားျဖင့္သာ ေျဖရွင္းႏိုင္မွာ ျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒါမ်ိဳးေဒတာေတြကို တင္ျပမယ္ဆိုရင္ ဂရပ္ပံုစံနဲ႕ တင္ျပတာက ဇယား (Table) ပံုစံနဲ႕ တင္ျပတာထက္ ပိုၿပီးေတာ့ အျမင္ရွင္းရွင္းနဲ႕ တင္ျပႏိုင္မွာျဖစ္ပါတယ္။ အထက္ပါအခ်က္ေတြဟာပဲ Dimensional Analysis လုပ္ရျခင္းရဲ႕ အေၾကာင္းရင္းေတြပါပဲ။

Dimensional Analysis မိတ္ဆက္
အေျခခံအားျဖင့္ Dimensional Analysis ဆိုတာဟာ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုခု (phenomenon) အေပၚမွာ သက္ေရာက္မႈရွိႏိုင္တဲ့ Variables ေတြရဲ႕ ရႈပ္ေထြးမႈနဲ႕ အေရအတြက္ကို ေလွ်ာ့ခ်ေပးႏိုင္တဲ့ နည္းလမ္း (Methods) မ်ားပဲျဖစ္ပါတယ္။ ျဖစ္ရပ္တစ္ခုဟာ Dimension (ယူနစ္) ေတြနဲ႕ တုိင္းတာလို႕ ရတဲ့ Variable ေပါင္း n အေရအတြက္ေပၚမွာ မူတည္ေနတယ္ဆိုရင္ အဲဒီ့ Variable ေတြကို ယူနစ္မရွိတဲ့ Dimensionless Variable ေပါင္း k အေရအတြက္သို႕ ေလ်ာ့ခ်ေပးျခင္းကို Dimensional Analysis နည္းလမ္းမ်ားက လုပ္ေဆာင္ေပးသြားမွာျဖစ္ပါတယ္။
ေလ်ာ့နည္းသြားတဲ့ Variable အေရအတြက္ (n-k = 1,2,3 or 4) ကဘယ္ေလာက္ျဖစ္မလဲ ဆိုတာကေတာ့ ေျဖရွင္းရမဲ့ ျပသနာရဲ႕ ရႈပ္ေထြးမႈအေပၚမွာ မူတည္ပါတယ္။ ပံုမွန္အားျဖင့္ ေလ်ာ့နည္းသြားတဲ့ အေရအတြက္ေတြဟာ ကြဲျပားတဲ့ ယူနစ္ အေရအတြက္ (number of different dimension) နဲ႕ တူညီေလ့ရွိပါတယ္။ (တစ္ခါတစ္ေလမွာ အေျခခံ သို႕မဟုတ္ မူလ ယူနစ္မ်ား ၊ basic or primary or fundamental dimensions လို႕လဲ ေခၚဆိုေလ့ရွိၾကပါတယ္။ Fluid Mechanics မွာ အဓိက အေျခခံ ယူနစ္ ေလးခုကေတာ့ mass (အေလးခ်ိန္)၊ length (အလ်ား)၊ Temperature (အပူခ်ိန္) နဲ႕ Time (အခ်ိန္) တုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ MLTθ System လို႕ အတိုေကာက္မွတ္ယူႏိုင္ပါတယ္။ တစ္ခ်ိဳ႕ ေနရာေတြမွာေတာ့ FLTθ system ျဖစ္တဲ့ mass ေနရာမွာ အား (Force) ကို အစားထိုး အသံုး ျပဳၾကတာေတြလဲ ရွိပါတယ္။

MLTθ System မွာအသံုးမ်ားတဲ့ ယူနစ္ေတြကို ေအာက္က ဇယားထဲမွာ ေဖာ္ျပထားပါတယ္။

SI Unit Column က မူရင္း Reference စာအုပ္ထဲမွာ မပါ၀င္ပါဘူး။ ဒါေပမဲ့ MLTθ System ကိုေျပာင္းတဲ့အခါမွာ ပိုၿပီးေတာ့ ျမင္ႏိုင္လာေအာင္လို႕ ထည္႕ေပးထားတာပါ။ ဇယားထဲမွာပါတဲ့ α β γ နဲ႕ δ တို႕ဟာ MLTθ တို႕ရဲ႕ အညႊန္းကိန္းမ်ားျဖစ္ၾကပါတယ္။ M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံနဲ႕ ၾကည္႕ျမင္ႏိုင္ပါတယ္
SI Unit ေတြကိုိၾကည္႕ျခင္းအားျဖင့္ M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံကို ေျပာင္းတဲ့နည္းကေတာ့ ဥပမာ Acceleration ရဲ႕ ယူနစ္ m/s² ကို ၾကည္႕မယ္ဆိုရင္ m (မီတာ) ဟာ အလ်ား L ျဖစ္ပါတယ္။ အခ်ိန္ second square နဲ႕ စားထားတဲ့အတြက္ S က S^-2 ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ m/s² ကို M^α L^β T^γ θ^δ ပံုစံနဲ႕ ျပမယ္ ဆိုရင္ LT^-2 လို႕ ျပဆိုရမွာျဖစ္ပါတယ္။ ထုိနည္းတူ Force ရဲ႕ ယူနစ္ကို M L T^-2 အစရွိသည္ျဖင့္ ေအာက္ပါဇယားကို ၾကည္႕ၿပီးေတာ့ ေျပာင္းလဲႏိုင္မွာျဖစ္ပါတယ္။

Dimensional Analysis လုပ္ျခင္းေၾကာင့္ ေျပာင္းလဲသြားသည္႕ ေဖာ္ျမဴလာပံုစံမ်ား မိတ္ဆက္
စီးဆင္းေနတဲ့ အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးအတြင္းမွာ ေပါေလာေပၚေနတဲ့ အရာ၀တၱဳတစ္ခုခုအေပၚမွာ သက္ေရာက္ႏိုင္တဲ့ အား F ဟာ ၊ အဲဒီ့အရာ၀တၱဳရဲ႕ အလ်ား (L) ၊ စီးဆင္းေနတဲ့ အရည္ရဲ႕ စီးဆင္းႏႈန္း Velocity (V), အဲဒီ့အရည္ရဲ႕ သိပ္သည္းဆ (Density, ρ) နဲ႕ အဲဒီ့အရည္ရဲ႕ တြန္းကန္မႈလို႕ ေခၚဆိုႏိုင္ တဲ့ (Viscosity, μ) (Viscosity ရဲ႕ အေၾကာင္းကို အက်ယ္ေလ့လာဘို႕ရန္လိုပါတယ္) တို႕အေပၚမွာ မူတည္ေနမွန္း ကၽြန္ေတာ္တို႕ သိရွိၾကၿပီးျဖစ္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။ အဲဒီအေၾကာင္းကို သခ်ာၤညီမွ်ျခင္း ပံုစံ နဲ႕ ေဖာ္ျပမယ္ဆိုရင္ ေအာက္ပါအတုိင္း ေဖာ္ျပရပါမယ္။
F = f(L,V, ρ, μ) - လို႕ ေဖာ္ျပရပါမယ္။ ဆိုလိုျခင္တာကေတာ့ အရာ၀တၱဳအေပၚမွာ သက္ေရာက္တဲ့ အား F ဟာ L, V ,density နဲ႕ Viscosity အစရွိတဲ့ function ေတြအေပၚမွာ မူတည္ေနပါတယ္လုိ႕ ျပဆိုလုိက္တာပါ။
အဲဒီ F = f(L,V, ρ, μ) ပံုစံကို Dimensional Analysis လုပ္လိုက္ၿပီးၿပီဆိုရင္ေတာ့ ေအာက္ပါပံုစံအျဖစ္ေျပာင္းလဲသြားပါလိမ့္မယ္။

F/ρV²L² = g(ρVL/μ) (or) CF = g(Re)

ဘယ္လိုေျပာင္းလဲမႈ ျပဳလုပ္ၾကမလဲဆိုတာ ဆက္ေလ့လာၾကည္႕လိုက္ရေအာင္။