Principle of Dimensional Homogeneity & Determination of Dimensionless Groups

တူညီေသာယူနစ္မ်ား ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity)
Dimensional Analysis မလုပ္ခင္မွာ သိထားရမဲ့အရာတစ္ခုကေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity လို႕ေခၚတဲ့ တူညီေသာ ယူနစ္မ်ား ဥပေဒသပဲျဖစ္ပါတယ္။ Principle of Dimensional Homogeneity ရဲ႕ အဓိပၸာယ္ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ဖြင့္ဆိုထားပါတယ္။
ရူပေဗဒဆိုင္ရာ ျဖစ္ပ်က္မႈတစ္ခုခုအတြင္းမွာရွိတဲ့ ေျပာင္းလဲတည္ရွိႏိုင္တဲ့ ၀ိေသသမ်ားရဲ႕ ဆက္စပ္မႈ တစ္ခုခုကို အမွန္တစ္ကယ္ေဖာ္ျပႏိုင္တဲ့ ညီမွ်ျခင္း ေဖာ္ျမဴလာေတြဟာ ယူနစ္ေတြကိုက္ညီမႈ ရွိၾကတယ္။ လြယ္လြယ္မွတ္လိုက္ရင္ကေတာ့အီေကြးရွင္းတစ္ခုရဲ႕ ဘယ္ဘက္ကယူနစ္ဟာ ညာဘက္ကယူနစ္နဲ႕ ကိုက္ညီရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

ဥပမာအားျဖင့္ ေဖာ္ျပရင္၊ အျမင့္ကေနေျမျပင္ေပၚကို က်ဆင္းလာတဲ့ အရာ၀တၱဳတစ္ခုခုရဲ႕ တည္ေနရာကို ေဖာ္ျပတဲ့ ညီမွ်ျခင္း S = S₀ + V₀t + ½ gt² ကိုၾကည္႕လိုက္မယ္ဆိုရင္ S ရဲ႕ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနတယ္ဆိုရင္ ညာဘက္က S₀ + V₀t + ½ gt² ကို ေျဖရွင္းလိုက္ရင္ လဲ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

Determination of Dimensionless Groups

ယူနစ္မ်ား တူညီျခင္း ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity) အေပၚမွာ အေျခခံထားတဲ့ ယူနစ္မဲ့ အုပ္စုမ်ားကိုရွာေဖြတဲ့ နည္းလမ္း (၂)ခုရွိပါတယ္။ ဒီေနရာကေနစၿပီးေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity ကို D.H လို႕ အတုိေကာက္သံုးသြားပါ့မယ္။

အဲဒီ့နည္းလမ္း (၂)ခုကေတာ့
၁။ Rayleigh's Method နဲ႕

၂။ Buckingham's π (pi) Theorem တုိ႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။

Rayleigh's Method ကို အရင္ေလ့လာလိုက္ရေအာင္။ေခ်ာေမြ႕တဲ့ မ်က္ႏွာျပင္ရွိတဲ့ စက္လံုးတစ္ခုကို အရည္တစ္ခုခုက ျဖတ္စီးဆင္းမယ္ဆိုရင္ အဲဒီ့စက္လံုးရဲ႕ ပတ္၀န္းက်င္မွာ ျဖစ္ေပၚေနတဲ့ စီးဆင္းအား (DragForce) ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ေဖာ္ျပပါတယ္။

D (Drag) = f(U,ρ,d,μ) - - - - - (၁)

အထက္ပါ အီေကြးရွင္ (၁) ကို ပိုလီႏိုမီရယ္ General Form အေနနဲ႕ ျပမယ္ဆိုရင္ေတာ့ ေအာက္ပါအတိုင္း ျဖစ္ပါတယ္။

D = U^α ρ^β d^γ μ^δ + U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1 + ........ - - - - - (၂)

အဲဒါဆိုရင္ ယူနစ္မ်ား ညီမွ်ျခင္း ဥပေဒသ အရ (D.H) ေအာက္ပါအတိုင္းေရးလို႕ ရသြားပါၿပီ။

[D] = [U^α ρ^β d^γ μ^δ] = [U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1] - - - - - - (၃)
ေနာက္ထပ္မဆက္ခင္မွာ အီေကြးရွင္းထဲမွာ ပါ၀င္ေနတဲ့ Parameter တစ္ခုခ်င္းစီရဲ႕ ယူနစ္ေတြကို ခ်ေရးရပါ့မယ္။

D = Drag Force = kg m/s2 = M L T^-2

U = Flow Velocity = m/s = L T^-1

ρ = Density = kg/m3 = ML^-3

d = Diameter of Sphere = m = L

μ = Fluid Viscosity = kg/ms = ML^-1T^-1

အဲဒီ့ ယူနစ္ေတြကို ညီမွ်ျခင္း (၃)ထဲမွာ အစားထိုးလုိက္ပါ။ ေအာက္ပါအတိုင္း ရရွိပါတယ္။

MLT^-2 = (LT^-1)^α (ML^-3)^β (L)^γ (ML^-1T^-1)^δ

^{= (}M^{) β + δ(}L)^α -^{3β + γ - δ} (T)^{-α - δ} ---------------------- (၄)

ညီမွ်ျခင္း (၄)မွာ D.H ရဲ႕ ဥပေဒသကို အသံုးျပဳၿပီး ညီမွ်ျခင္း ခ်လိုက္မယ္ဆိုရင္

β + δ = 1

α -3β + γ - δ = 1

-α - δ = -2 - - - -- - - - -(၅)

ညီမွ်ျခင္း (၅)မွာ အီေကြးရွင္း (၃) ေၾကာင္းသာရွိၿပီးေတာ့ မသိတဲ့ unknown က (၄)ခုျဖစ္ေနတာကို ေတြ႕ရပါတယ္။ ဒီလိုမ်ိဳး ညီမွ်ျခင္းေတြကို ေျဖရွင္းႏိုင္ ဘို႕ရာအတြက္ α, β, γ, δ တို႕ကို အဲဒီ့ unknown ေလးခုထဲက တစ္မ်ိဳးမ်ိဳး ပံုစံနဲ႕ ေျပာင္းျပေပးရပါတယ္။ အထက္ပါအီေကြးရွင္း (၅) ကို ၾကည္႕လိုက္ တဲ့အခါမွာ δ ဟာ အီေကြးရွင္းတိုင္းမွာ ပါ၀င္ေနတာကို ေတြ႕ရတဲ့အတြက္ က်န္ α ၊ β ၊ နဲ႕ γ တို႕ကို δ ပံုစံ အီေကြးရွင္းအျဖစ္ ေနာက္တစ္ဆင့္မွာ ျပေပးရပါ့မယ္။

အီေကြးရွင္း(၅) ရဲ႕ မသိကိန္းေတြကို δ ပံုစံနဲ႕ ေျဖရွင္းလိုက္တဲ့အခါမွာ

α = 2 - δ

β = 1- δ

အဲဒီ့ α နဲ႕ β တန္ဘိုးေတြကို အသံုးျပဳၿပီး γ ကို ရွာပါတယ္။

2 - δ - 3(1 - δ) + γ - δ = 1

γ = 2 - δ - - - - - (၆)
ေနာက္ထပ္ထပ္ၿပီးေတာ့ α = 2 - δ ၊ β = 1- δ နဲ႕ γ = 2 - δ ျဖစ္တယ္ဆိုရင္ အီေကြးရွင္း (၃) အရ -
α¹ = 2 - δ¹ ၊ β¹ = 1- δ¹နဲ႕ γ¹ = 2 - δ¹ - - - - (၇) လို႕ ဆိုႏုိင္သြားပါၿပီ။

ညီမွ်ျခင္း (၆) နဲ႕ (၇) ကို ညီမွ်ျခင္း (၂) ထဲမွာ အစားထိုးလိုက္တဲ့အခါမွာေတာ့

D = U^{2 - δ} ρ^1-δ d^2-δ μ^δ + U^{2 - δ1} ρ^1-δ1 d^2-δ1 μ^δ1

= ρU²d² {[μ/ρUd]^δ + [μ/ρUd]^{δ1 + . . . . . .} } - - - - - (၈)

အဲဒီ့အခါမွာ အထက္က ေဖာ္ျမဴလာ ပံုစံဟာ

C_D = D/ρU²d² = φ(Re) - - - - - (၉) ဆိုတဲ့ ပံုစံမ်ိဳး ျဖစ္သြားပါၿပီ။ Re ကေတာ့ Reynold's number ပဲျဖစ္ကာ ပံုေသနည္းက Re = ρUd/μ ပဲျဖစ္ပါတယ္။

အီေကြးရွင္း နံပါတ္ (၉) ဟာ ကၽြန္ေတာ္တို႕ လုိခ်င္တဲ့ ယူနစ္မဲ့ ပံုစံမ်ား Dimensionless Groups ပံုစံမ်ား အျဖစ္ကို ေရာက္ရွိသြားၿပီး ျဖစ္ပါတယ္။ အဆင့္ (၁) ကေန (၉) အထိ အျပန္ျပန္ အလွန္လွန္ ေလ့က်င့္ျခင္းအား ျဖင့္ တစ္ျခား ပုစၧာမ်ားကိုလဲ အေျဖရွာႏိုင္ၾကမွာ ျဖစ္ပါတယ္။