Buckingham's Pi Theorem

Buckingham's П Theorem

ဘက္ကင္းဟမ္ရဲ႕ ပိုင္ သီအိုရီက ဆိုခဲ့တာကေတာ့ ရူပေဗဒဆိုင္ရာ ျဖစ္ပ်က္မႈတစ္ခုခုဟာ ယူနစ္မ်ားတူညီျခင္းဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity) ကို လိုက္နာၿပီးေတာ့ အဲဒီ့ ျဖစ္ပ်က္မႈထဲမွာ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္း (Variables) အေရအတြက္က "n" ရွိကာ အေျခခံ ယူနစ္အေရအတြက္ (basic dimensions) က "m" အေရအတြက္ ရွိတယ္ဆိုၾကပါစို႕။ အဲဒါဆိုရင္ အဲဒီ့ညီမွ်ျခင္းထဲမွာ ရွိေနတဲ့ ယူနစ္မ်ားပါ၀င္တဲ့ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္းေတြကို ယူနစ္မဲ့ အုပ္စုမ်ား (dimensionless groups) အျဖစ္ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ အေရအတြက္ဟာ "n-m" အေရအတြက္ျဖစ္ပါတယ္ - လို႕ ဆိုခဲ့ပါတယ္။ ဆိုလိုခ်င္တာကေတာ့ ယူနစ္မဲ့အုပ္စုမ်ားအေရအတြက္ П = n-m ျဖစ္ပါတယ္။ အဓိပၸာယ္ ဖြင့္ဆိုခ်က္က မရွင္းလင္းဘူးဆိုရင္ ပုစၧာတြက္ၿပီးတဲ့ အခါမွာ ျမင္ႏုိင္လာပါလိမ့္မယ္။

ယူနစ္မဲ့အုပ္စုမ်ား (П Groups) မ်ား၏ (n-m) အေရအတြက္ကို ရွာေဖြရာတြင္ လုပ္ေဆာင္ရမည္႕ အဆင့္မ်ား

Step 1. ညီမွ်ျခင္းအတြင္းရွိ ေျပာင္းလဲႏိုင္တဲ့ ကိန္းညႊန္း (Variables) မ်ားအတြင္းမွ ထပ္ကာတစ္လဲလဲ အသံုးျပဳရမည္႕ Variables မ်ား(Repeating variables) မ်ားအား ေရြးခ်ယ္ပါ။ Repeating Variables အေရအတြက္ မည္မွ်သတ္မွတ္ရမည္ ဆိုသည္မွာ Variables စုစုေပါင္းအတြင္းတြင္ အေျခခံယူနစ္(basic dimension units) မည္မွ်ပါ၀င္သည္ဆိုသည္ အေပၚမွာ မူတည္ပါသည္။

ဥပမာ - D, U, ρ, μ, d, h အစရွိသည္႕ Variable ၆ခုအတြင္းတြင္ အေျခခံ ယူနစ္ ၃ခုသာ ပါ၀င္ (M,L and T) ပါသည္။ ထုိ႕အတြက္ေၾကာင့္ ထို Variable ၆ခုအတြင္းတြင္ ထပ္ကာတစ္လဲလဲ ပါ၀င္ေနမည္႕ Repeating Variable အေရအတြက္မွာ ၃ခု = (အေျခခံယူနစ္အေရအတြက္ေပါင္း) သာ ျဖစ္ရပါ့မယ္။

မွတ္ရန္။ D, U, ρ, μ, d, h အစရွိတဲ့ Variables ေတြထဲမွာ Repeating Variable ေတြက ဘာေတြကို ေရြးရမလဲဆိုတာကို ေအာက္ပါအတိုင္းမွတ္သားႏိုင္ပါတယ္။

ဥပမာအားျဖင့္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ ေလ့လာခ်င္တဲ့ ညီမွ်ျခင္းက D = f (U, ρ, μ, d, h) - ျဖစ္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။

၁။ ညီမွ်ျခင္းရဲ႕ ဘယ္ဘက္က Variable ကို Repeating Variable အျဖစ္ မယူရပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္ D ကို ပယ္ပါတယ္။

၂။ အမ်ားအားျဖင့္ μ ကို Repeating Variable အျဖစ္ အသံုးမျပဳပါဘူး။ μ ပါ၀င္တဲ့ ယူနစ္မဲ့ညီမွ်ျခင္းေတြဟာ မ်ားျပားလြန္းတဲ့ အတြက္ အေျဖထြက္လာတဲ့အခါမွာ ရႈပ္ေထြးမႈေတြရွိလာႏိုင္လုိ႕ပါ။

၃။ Flow Velocity (U) နဲ႕ Density (ρ) တို႕ဟာ အေရးပါတဲ့ Variable ေတြျဖစ္ၾကပါတယ္။ အမ်ားျဖင့္ ဒီ Variable ၂ခုကို Repeating Variable ေတြအျဖစ္ယူၾကတာမ်ားပါတယ္။

၄။ ေနာက္ထပ္ၿပီးေတာ့ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြဟာ ေအာက္ပါ အခ်က္ (၂)ခုကို ကိုက္ညီႏိုင္ရပါ့မယ္။

လိုအပ္ခ်က္ (၁) - ေလ့လာလိုတဲ့ ညီမွ်ျခင္းထဲမွာ ပါ၀င္တဲ့ Basic Dimensions ေတြအားလံုးဟာ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြထဲမွာ ပါ၀င္မႈရွိေနရပါ့မယ္။ ဥပမာအားျဖင့္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ U, ρ နဲ႕ d တို႕ကို Repeating Variables ေတြအျဖစ္ ေရြးခ်ယ္လိုက္တယ္ဆိုၾကပါစို႕။

[U] = LT^-1 , [ρ] = M L^-3 [d] = L - M,L နဲ႕ T အေျခခံယူနစ္အားလံုးဟာ ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြထဲမွာ အားလံုး ပါ၀င္တဲ့အတြက္ လိုအပ္ခ်က္ (၁) ျပည္႕မွီပါတယ္။

လုိအပ္ခ်က္ (၂) - ေရြးခ်ယ္ထားတဲ့ Repeating Variables ေတြဟာ Basic Dimensions ေတြအားလံုးကို Repeating Variables ပံုစံမ်ိဳးေတြနဲ႕ ျပသႏိုင္ရပါ့မယ္။ ဥပမာ -

L = [d] , M = [ρ]/[d]³ T = [d]/[U]

လုိအပ္ခ်က္ (၂)ခု စလံုးနဲ႕ ကိုက္ညီတဲ့အတြက္ Flow Velocity (U), Density (ρ) နဲ႕ Diameter (d) တို႕ကို Repeating Variables မ်ားအျဖစ္ ကၽြန္ေတာ္တို႕ သတ္မွတ္ႏိုင္ၾကပါၿပီ။

Step 2. Repeating Variable ေတြသတ္မွတ္ၿပီးၿပီဆိုရင္ ေနာက္တစ္ဆင့္က Dimensionless Groups (П Groups) မ်ားကို သတ္မွတ္ေပးရပါ့မယ္။ П Groups ေတြရဲ႕ General Formula က ေအာက္ပါပံုစံအတိုင္းျဖစ္ပါတယ္။

П_j = X_j (X_r1)^a (X_r2)^b (X_r3)^c - - - - - - - (1)

X_r1, X_r2, X_r3 ေနရာမွာ အေပၚက ကၽြန္ေတာ္တို႕ သတ္မွတ္ခဲ့တဲ့ Repeating Variables ေတြကို ထည္႕ရပါတယ္။ Power ေတြျဖစ္တဲ့ a,b နဲ႕ c တို႕က ရွာေပးရမဲ့ အရာေတြျဖစ္ပါတယ္။ a,b,c ကိုတြက္တဲ့ ေဖာ္ျမဴလာကေတာ့ П_{j =} M⁰L⁰T⁰ ျဖစ္ပါတယ္။ j ရဲ႕ အေရအတြက္က n-m နဲ႕ ညီပါတယ္။ ဥပမာအား ျဖင့္ n-m က ၃ ျဖစ္ေနလို႕ရင္ П₁ ၊ П₂ ၊ П₃ အစရွိသည္ျဖင့္ Dimensionless Group ၃ခု ထြက္လာပါ့မယ္။ ဥပမာကို ၾကည္႕လိုက္ရင္ ရွင္းရွင္းလင္းလင္း ျမင္လာမွာပါ။

ဥပမာ - မ်က္ႏွာျပင္ ၾကမ္းတဲ့ စက္လံုးပံုအရာ ၀တၱဳတစ္ခုကို အရည္တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးျဖတ္စီးရင္ စက္လံုးေဘး ပတ္လည္မွာ ျဖစ္တဲ့ Force က D = f(U, ρ, μ, d, h) -

Total Variable = n = 6 - - - > (D ,U, ρ, μ, d, h )

D = MLT^-2

U = LT^-1

ρ = ML^-3

μ = ML^-1T^-1

d = L

h = L

Variables မ်ားအတြင္းတြင္ ပါ၀င္ေသာ အေျခခံယူနစ္ေပါင္း Total no. of Basic Dimensions = m = 3 (M, L, T). အေျခခံယူနစ္ ၃ခုပါ၀င္သည္႕အတြက္ Repeating Variables ၃ ခု သတ္မွတ္ေပးရပါ့မယ္။ Repeating Variable သတ္မွတ္သည္႕ ဥပေဒသမ်ားအရ U, ρ ႏွင့္ d တို႕အား Repeating Variables မ်ားအျဖစ္ ဒီပုစၧာအတြက္ သတ္မွတ္ပါတယ္။

So, n - m = 6-3 = 3 ျဖစ္တဲ့အတြက္ П₁ ၊ П₂ ၊ П₃ Dimensionless Group ၃ခု ရွိရမည္။

П₁ = D U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

П₂ = μ U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

П₃ = h U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

(Repeating Variables ၃ခုျဖစ္တဲ့ U, ρ ႏွင့္ d တို႕ဟာ П တိုင္းမွာ ပါၿပီးေတာ့ က်န္တဲ့ D, μနဲ႕ h တို႕ကို ေရွ႕ဆံုးမွာ ေျပာင္းေျပာင္းထည္႕လိုက္ယံုပါပဲ)

П1 ကို ေျဖရွင္းပါတယ္။ - Solve for the exponents a,b and c of each П group.

П₁ = D U^a ρ^b d^c

= MLT^-2 [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

= M^1+b L^1+a-3b+c T^-2-a = M⁰L⁰T⁰

D.H ဥပေဒသအရ Exponents ေတြကို ညီမွ်ျခင္း ခ်လိုက္မယ္ဆိုရင္။ Equating the exponents gives

M : 1+b = 0 - - - > b = -1

L : 1+a-3b+c = 0 - - - > 1-2+3+c = 0 - - - > c = -2

T : -2-a = 0 - - - > a = -2

အထက္ကရလာတဲ့ a, b နဲ႕ c values ေတြကို П₁ = D U^a ρ^b d^c ေဖာ္ျမဴလာထဲမွာ ထည္႕လိုက္တဲ့ အခါမွာ

П₁ = D U^-2 ρ^-1 d^-2
= D/ ρ U²d² ကို ရရွိလာပါေတာ့တယ္။ အဲဒီ့ П₁ = D/ ρ U²d² ဟာ Drag Coefficient ျဖစ္တဲ့ C_D ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ П₂ ကိုဆက္ရွင္းပါ့မယ္။

П₂ = μ U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

= ML^-1T^-1 [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

= M^1+b L^-1+a-3b+c T^-1-a = M⁰L⁰T⁰

By D.H gives,

M : 1+b = 0 - - - > b = -1

L : -1+a-3b+c = 0 - - - - > -1-1+3+c = 0 - - - -> c = -1

T: -1-a = 0 - - - - > a = -1

Substituting a,b and c into П₂ = μ U^a ρ^b d^c gives П₂ = μ /U ρ d which is 1/Re П₃ ကိုဆက္ရွင္းပါ့မယ္။

П₃ = h U^a ρ^b d^c
= M⁰L⁰T⁰

= L [LT^-1]^a [ML^-3]^b [L]^c

=M^b L^1+a-3b+c T^-a
= M⁰L⁰T⁰

By using D.H gives,

M : b = 0

L : 1+a-3b+c = 0 - - - > 1+0-0+c = 0 - - - > c = -1

T : -a = 0 - - - > a=0

Substituting a,b and c into П₃ = h U^a ρ^b d^c gives П₃ = h / d which is roughness factor.

ေနာက္ဆံုးရရွိလာတဲ့ အေျဖကေတာ့ П₁ = D/ ρ U²d² which is C_D ၊ П₂ = μ /U ρ d which is 1/Re နဲ႕ roughness factor П₃ = h / d တို႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။ပုစၧာမ်ားကို ဆက္လက္ေလ့လာၾကည္႕ၾကပါခင္ဗ်ား။

Principle of Dimensional Homogeneity & Determination of Dimensionless Groups

တူညီေသာယူနစ္မ်ား ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity)
Dimensional Analysis မလုပ္ခင္မွာ သိထားရမဲ့အရာတစ္ခုကေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity လို႕ေခၚတဲ့ တူညီေသာ ယူနစ္မ်ား ဥပေဒသပဲျဖစ္ပါတယ္။ Principle of Dimensional Homogeneity ရဲ႕ အဓိပၸာယ္ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ဖြင့္ဆိုထားပါတယ္။
ရူပေဗဒဆိုင္ရာ ျဖစ္ပ်က္မႈတစ္ခုခုအတြင္းမွာရွိတဲ့ ေျပာင္းလဲတည္ရွိႏိုင္တဲ့ ၀ိေသသမ်ားရဲ႕ ဆက္စပ္မႈ တစ္ခုခုကို အမွန္တစ္ကယ္ေဖာ္ျပႏိုင္တဲ့ ညီမွ်ျခင္း ေဖာ္ျမဴလာေတြဟာ ယူနစ္ေတြကိုက္ညီမႈ ရွိၾကတယ္။ လြယ္လြယ္မွတ္လိုက္ရင္ကေတာ့အီေကြးရွင္းတစ္ခုရဲ႕ ဘယ္ဘက္ကယူနစ္ဟာ ညာဘက္ကယူနစ္နဲ႕ ကိုက္ညီရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

ဥပမာအားျဖင့္ ေဖာ္ျပရင္၊ အျမင့္ကေနေျမျပင္ေပၚကို က်ဆင္းလာတဲ့ အရာ၀တၱဳတစ္ခုခုရဲ႕ တည္ေနရာကို ေဖာ္ျပတဲ့ ညီမွ်ျခင္း S = S₀ + V₀t + ½ gt² ကိုၾကည္႕လိုက္မယ္ဆိုရင္ S ရဲ႕ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနတယ္ဆိုရင္ ညာဘက္က S₀ + V₀t + ½ gt² ကို ေျဖရွင္းလိုက္ရင္ လဲ ယူနစ္ဟာ Meter (Length) ျဖစ္ေနရမယ္ဆိုတာပါပဲ။

Determination of Dimensionless Groups

ယူနစ္မ်ား တူညီျခင္း ဥပေဒသ (Principle of Dimensional Homogeneity) အေပၚမွာ အေျခခံထားတဲ့ ယူနစ္မဲ့ အုပ္စုမ်ားကိုရွာေဖြတဲ့ နည္းလမ္း (၂)ခုရွိပါတယ္။ ဒီေနရာကေနစၿပီးေတာ့ Principle of Dimensional Homogeneity ကို D.H လို႕ အတုိေကာက္သံုးသြားပါ့မယ္။

အဲဒီ့နည္းလမ္း (၂)ခုကေတာ့
၁။ Rayleigh's Method နဲ႕

၂။ Buckingham's π (pi) Theorem တုိ႕ပဲျဖစ္ပါတယ္။

Rayleigh's Method ကို အရင္ေလ့လာလိုက္ရေအာင္။ေခ်ာေမြ႕တဲ့ မ်က္ႏွာျပင္ရွိတဲ့ စက္လံုးတစ္ခုကို အရည္တစ္ခုခုက ျဖတ္စီးဆင္းမယ္ဆိုရင္ အဲဒီ့စက္လံုးရဲ႕ ပတ္၀န္းက်င္မွာ ျဖစ္ေပၚေနတဲ့ စီးဆင္းအား (DragForce) ကို ေအာက္ပါအတိုင္း ေဖာ္ျပပါတယ္။

D (Drag) = f(U,ρ,d,μ) - - - - - (၁)

အထက္ပါ အီေကြးရွင္ (၁) ကို ပိုလီႏိုမီရယ္ General Form အေနနဲ႕ ျပမယ္ဆိုရင္ေတာ့ ေအာက္ပါအတိုင္း ျဖစ္ပါတယ္။

D = U^α ρ^β d^γ μ^δ + U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1 + ........ - - - - - (၂)

အဲဒါဆိုရင္ ယူနစ္မ်ား ညီမွ်ျခင္း ဥပေဒသ အရ (D.H) ေအာက္ပါအတိုင္းေရးလို႕ ရသြားပါၿပီ။

[D] = [U^α ρ^β d^γ μ^δ] = [U^α1 ρ^β1 d^γ1 μ^δ1] - - - - - - (၃)
ေနာက္ထပ္မဆက္ခင္မွာ အီေကြးရွင္းထဲမွာ ပါ၀င္ေနတဲ့ Parameter တစ္ခုခ်င္းစီရဲ႕ ယူနစ္ေတြကို ခ်ေရးရပါ့မယ္။

D = Drag Force = kg m/s2 = M L T^-2

U = Flow Velocity = m/s = L T^-1

ρ = Density = kg/m3 = ML^-3

d = Diameter of Sphere = m = L

μ = Fluid Viscosity = kg/ms = ML^-1T^-1

အဲဒီ့ ယူနစ္ေတြကို ညီမွ်ျခင္း (၃)ထဲမွာ အစားထိုးလုိက္ပါ။ ေအာက္ပါအတိုင္း ရရွိပါတယ္။

MLT^-2 = (LT^-1)^α (ML^-3)^β (L)^γ (ML^-1T^-1)^δ

^{= (}M^{) β + δ(}L)^α -^{3β + γ - δ} (T)^{-α - δ} ---------------------- (၄)

ညီမွ်ျခင္း (၄)မွာ D.H ရဲ႕ ဥပေဒသကို အသံုးျပဳၿပီး ညီမွ်ျခင္း ခ်လိုက္မယ္ဆိုရင္

β + δ = 1

α -3β + γ - δ = 1

-α - δ = -2 - - - -- - - - -(၅)

ညီမွ်ျခင္း (၅)မွာ အီေကြးရွင္း (၃) ေၾကာင္းသာရွိၿပီးေတာ့ မသိတဲ့ unknown က (၄)ခုျဖစ္ေနတာကို ေတြ႕ရပါတယ္။ ဒီလိုမ်ိဳး ညီမွ်ျခင္းေတြကို ေျဖရွင္းႏိုင္ ဘို႕ရာအတြက္ α, β, γ, δ တို႕ကို အဲဒီ့ unknown ေလးခုထဲက တစ္မ်ိဳးမ်ိဳး ပံုစံနဲ႕ ေျပာင္းျပေပးရပါတယ္။ အထက္ပါအီေကြးရွင္း (၅) ကို ၾကည္႕လိုက္ တဲ့အခါမွာ δ ဟာ အီေကြးရွင္းတိုင္းမွာ ပါ၀င္ေနတာကို ေတြ႕ရတဲ့အတြက္ က်န္ α ၊ β ၊ နဲ႕ γ တို႕ကို δ ပံုစံ အီေကြးရွင္းအျဖစ္ ေနာက္တစ္ဆင့္မွာ ျပေပးရပါ့မယ္။

အီေကြးရွင္း(၅) ရဲ႕ မသိကိန္းေတြကို δ ပံုစံနဲ႕ ေျဖရွင္းလိုက္တဲ့အခါမွာ

α = 2 - δ

β = 1- δ

အဲဒီ့ α နဲ႕ β တန္ဘိုးေတြကို အသံုးျပဳၿပီး γ ကို ရွာပါတယ္။

2 - δ - 3(1 - δ) + γ - δ = 1

γ = 2 - δ - - - - - (၆)
ေနာက္ထပ္ထပ္ၿပီးေတာ့ α = 2 - δ ၊ β = 1- δ နဲ႕ γ = 2 - δ ျဖစ္တယ္ဆိုရင္ အီေကြးရွင္း (၃) အရ -
α¹ = 2 - δ¹ ၊ β¹ = 1- δ¹နဲ႕ γ¹ = 2 - δ¹ - - - - (၇) လို႕ ဆိုႏုိင္သြားပါၿပီ။

ညီမွ်ျခင္း (၆) နဲ႕ (၇) ကို ညီမွ်ျခင္း (၂) ထဲမွာ အစားထိုးလိုက္တဲ့အခါမွာေတာ့

D = U^{2 - δ} ρ^1-δ d^2-δ μ^δ + U^{2 - δ1} ρ^1-δ1 d^2-δ1 μ^δ1

= ρU²d² {[μ/ρUd]^δ + [μ/ρUd]^{δ1 + . . . . . .} } - - - - - (၈)

အဲဒီ့အခါမွာ အထက္က ေဖာ္ျမဴလာ ပံုစံဟာ

C_D = D/ρU²d² = φ(Re) - - - - - (၉) ဆိုတဲ့ ပံုစံမ်ိဳး ျဖစ္သြားပါၿပီ။ Re ကေတာ့ Reynold's number ပဲျဖစ္ကာ ပံုေသနည္းက Re = ρUd/μ ပဲျဖစ္ပါတယ္။

အီေကြးရွင္း နံပါတ္ (၉) ဟာ ကၽြန္ေတာ္တို႕ လုိခ်င္တဲ့ ယူနစ္မဲ့ ပံုစံမ်ား Dimensionless Groups ပံုစံမ်ား အျဖစ္ကို ေရာက္ရွိသြားၿပီး ျဖစ္ပါတယ္။ အဆင့္ (၁) ကေန (၉) အထိ အျပန္ျပန္ အလွန္လွန္ ေလ့က်င့္ျခင္းအား ျဖင့္ တစ္ျခား ပုစၧာမ်ားကိုလဲ အေျဖရွာႏိုင္ၾကမွာ ျဖစ္ပါတယ္။